1. El TriánguloPropiedades de los triángulos:1.Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Geometría:

1. El Triángulo
Propiedades de los triángulos:1.Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.


A + B + C =180º


3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Tipos de Triángulos según los lados
1. Equilátero (todos los lados iguales)
2. Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)
3. Escaleno (ningún lado igual)

Según los ángulos
1. Rectángulo (un ángulo recto)
2. Acutángulo (un ángulo agudo)

3. Obtusángulo (un ángulo obtuso)

Rectas y puntos notables en el triángulo

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma.
El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo.
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma.
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo.

El Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se basa en que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Demostración 3D
En esta imagen podemos contemplar que el liquido de los cuadrados con aristas que miden como los catetos, corresponde al liquido que cabe en el cuadrado con aristas que miden como la hipotenusa.

El teorema de Tales

Sabiendo la altura de un árbol y lo que mide su sombra, podemos calcular la altura de un edificio (si sabemos cuanto mide su sombra) a partir de Tales con una simple "regla de tres".
                                           A'/A = B'/B

2. Lugares Geométricos.
¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

La bisectriz y la mediatrizEl lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca perpendicularmente en su punto medio.

La bisectriz es otro un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo.

Las cónicasSon todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
La CIRCUNFERENCIA se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.

La ELIPSE se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados del cono, tal y como se ve en la imagen.

Para dibujar una elipse con el metodo del jardinero:

Primero debemos dibujar perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo.
Luego debemos de señalar los dos focos.
Despues, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujamos la elipse.

En una mesa de billar eliptica, si colocas una bola en un foco y otro en el otro foco, siempre golpearas la bola.

La HIPÉRBOLA se obtine al cortar de forma perpendicular a la base los dos conos.

La luz que emite una lampara, produce como dos conos, que al cortarse con la pared, forma una hipérbola. (Lo podemos observar en estas imágenes).


La PARÁBOLA se obtine al cortar de forma paralela al lado del cono y que pase por su base.


En las antenas parabólicas, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en la parábola, producen ondas más coherentes que otro tipo de antenas.

Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Hay varios tipos, uno de ellos son los reflectores parabólicos o helióstatos. Estos concentran la luz sobre un punto focal para calentar la comidaualmente para usos industriales.Un espejo parabólico tiene la particularidad de que todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco. Esta característica se aprovecha por ejemplo en la construcción de antenas parabólicas, hornos solares, etc.
De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera.
Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una pequeña sección de esfera. De hecho, a lo largo de la historia la gran mayoría de los espejos construídos han sido esféricos, porque resultan mucho más fáciles de construir.

3. Movimientos en el plano
En geometría, una TRASLACIÓN es el movimiento de cada punto a una distancia constante en una dirección dada.En matemáticas, se define un VECTOR como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.


Frisos, mosaicos y cenefas:

Un friso sirve en arquitectura para denominar a la parte ancha de la sección central de un entablamento.
Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso u otro aglomerante para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas.
Una cenefa es un dibujo que sirve de adorno y que se pone a lo largo de los muros o de los pavimentos, incluso a veces en los techos. El dibujo suele ser repetitivo.

MC. Escher

MC. Escher, fue un artista holandés conocido por sus grabados xilográficos y litográficos que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.





4. Resumen áreas y volúmenes:

5. La esfera y el globo terráqueo:Los elementos principales de la esfera son:

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.


Un globo terráqueo es un modelo a escala tridimensional de la Tierra, siendo la única representación geográfica que no sufre distorsión. Si bien la Tierra es el planeta más frecuentemente representado, existen modelos del Sol, la Luna y otros planetas, incluyendo algunos ficticios.
Los globos terráqueos suelen montarse en un soporte en ángulo, lo que los hace más fáciles de usar, representando al mismo tiempo el ángulo del planeta en relación al Sol y a su propio giro. Esto permite visualizar fácilmente cómo cambian los días y las estaciones.
Un globo terráqueo tiene a veces relieve, mostrando la topografía. Se suele usar una escala exagerada para el relieve, de forma que resulte visible.
La mayor parte de los globos terráqueos modernos incluyen también paralelos y meridianos, de modo que se pueda localizar una ubicación en la superficie del planeta.Eratóstenes inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco para medir la circunferencia de la Tierra.
Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía.

TRABAJO DE FUNCIONES 2º PARTE

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas. 
a) Función lineal creciente ver aqui
b) Función lineal constante ver aqui
c) Función lineal decreciente ver aqui
d) Rectas paralelas ver aqui
e) Función cuadrática cóncava ver aqui
f) Función cuadrática convexa 
g) Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones

10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares
las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

11.Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de
funciones en el espacio (x, y, z).
a) z = x    
b) 2
c) + y

12.Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente: 
3x -2y = 4
2x +3y = 33
y = 7 ; x = 6

TRABAJO DE FUNCIONES (fisgoo)

Hoy vamos a realizar un trabajo subido a la pagina web fisgoo:

 1- . ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo? 
  -Mediante un eje de coordenadas 
 2- ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:


 -En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una    regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo    conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único    cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero)
  -se pueden expresar mediante tablas, grafica, ecuaciones o formulas
  -ejemplos:

   

3- ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.

-Es el incremento de una función, que mide lo que cambia al pasar de un punto a otro. En las crecientes, toma un valor superior a 0 (positivo), y, en las decrecientes, toma un valor menor a 0 (negativo).

4- Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos. El Mínimo Relativo en Una función f es el punto Donde la variable de evalua Que Toma El valor Más Bajo en un Intervalo Determinado, MIENTRAS Que El Mínimo absoluto es el punto Donde la variable de Toma que evalua El valor Más Bajo INDEPENDIENTEMENTE del Intervalo.

5-Representa gráficamente dos ejemplos de           funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría. 

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.


6- Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma. 





Las funciones periódicas son aquellas en las que tienen ondas que muestran periodicidad respecto al tiempo, es decir, describen ciclos repetitivos.

7-Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

Función discontinua: Una función es discontinua cuando su función f es definida en un intervalo abierto y es interrumpida.

Función continua: Una función es continua cuando su gráfica es una linea seguida, no interrumpida


8-Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?
No apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Este es lo que he encontrado de informacion sobre la leyenda

Las historias acerca de la invención del ajedrez varían. No obstante, todas ellas incorporan exactamente el mismo problema de progresión geométrica y la fábula en cuestión, al margen de las distintas variantes que existen de la misma, siempre gira alrededor de los mismos lineamientos:

Cuando el creador del juego del ajedrez (en algunas historias un antiguo matemático de la India y en otras un drávida vellalar legendario llamado Sessa o Sissa) le mostró su invento el rey de un lejano país de Oriente, éste último estaba tan satisfecho que le dio al inventor el derecho de que él mismo decidiese cuál sería su recompensa por tal creación. El hombre, que era muy sabio, le pidió al rey algo que de buenas a primeras aparentaba ser bastante humilde: que por el primer casillero del tablero de ajedrez, él debía recibir un grano de trigo (o de arroz en algunas variantes del cuento), dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez.


El rey, que no se caracterizaba por saber mucho de aritmética, rápidamente aceptó el pedido realizado por el inventor, incluso ofendiéndose debido a su errada percepción de que lo estaba pidiendo demasiado poco como contrapartida por haber inventado nada menos que el ajedrez, y le ordenó a su tesorero que contase los granos de trigo correspondientes y que se los entregase al inventor. No obstante en otra variante de la historia, el ofendido rey ordena que le entreguen un saco de trigo y que se vaya, sin darse cuenta que la cantidad de granos pedidos son en realidad muchísimo mayor que eso.


Cuando el tesorero se tomó nada menos que más de una semana en realizar el cálculo de los granos de trigo adeudados al creador del ajedrez, el monarca le preguntó acerca de la razón de su tardanza. Fue entonces ahí que el contador real le dio entonces el resultado de su cálculo y le explicó que habría que darle al inventor una cantidad de granos cuyo valor era superior a todos los activos del reino. La historia termina con el súbitamente enriquecido inventor convirtiéndose en el nuevo rey, aunque en otras variantes de la misma el monarca engañado termina ordenando el castigo del inventor.

vale despues de esta informacion solo queria dejar por aqui la formula final 2 a la 64 -1
aqui teneis cuanto gano en trigo

¿Gauss? ¿Ese que hizo?

pues "ese" averiguócomo sumar los 100 primeros nuñero sin necesidad de ir sumando uno por uno
 y direis eso es imposible pero no atentos a este video

puede que no haya sido suficiente pues es muy simple si os fijais 1+100=101

2+99=101... asique solo has de multiplicar ese numero (101) por el numero de parejas formadas (50) y hay ya tendras la suma de los cien primeros numeros naturales (5050)

LA ESPIRAL DE DURERO

En este apartado quiero hablaros sobre la espiral de durero:
Es una de las espirales gnómicas basadas en el famoso número de oro, o mejor dicho, en los rectángulos áureos.
Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.
Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.
O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo.

para que sea mas sencillos de entender os voy a poner una foto y un vídeo de como se efectua:

                                                                                  

 

redacción sobre los números y los sistemas

un número, en ciencias es una abstracción que representa una cantidad o una magnitud. En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más general mente un elemento de un sistema numérico.

Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo) satisfacer propiedades topológicas y analíticas adicionales

Tras esta teoría he decidido poneros un vídeo que aunque es un poco para mas pequeños creo que trata sobre esto y es sencillos de entender: