Geometría:
1. El Triángulo
Propiedades de los triángulos:1.Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C =180º
3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
Tipos de Triángulos según los lados
1. Equilátero (todos los lados iguales)
2. Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)
3. Escaleno (ningún lado igual)
Según los ángulos
1. Rectángulo (un ángulo recto)
2. Acutángulo (un ángulo agudo)
3. Obtusángulo (un ángulo obtuso)
Rectas y puntos notables en el triángulo
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma.
El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo.
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma.
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo.
El Teorema de Pitágoras
Demostración 3D
En esta imagen podemos contemplar que el liquido de los cuadrados con aristas que miden como los catetos, corresponde al liquido que cabe en el cuadrado con aristas que miden como la hipotenusa.
El teorema de Tales
Sabiendo la altura de un árbol y lo que mide su sombra, podemos calcular la altura de un edificio (si sabemos cuanto mide su sombra) a partir de Tales con una simple "regla de tres".A'/A = B'/B
2. Lugares Geométricos.
¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.
La bisectriz y la mediatrizEl lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca perpendicularmente en su punto medio.
La bisectriz es otro un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo.
Las cónicasSon todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
La CIRCUNFERENCIA se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.
La ELIPSE se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados del cono, tal y como se ve en la imagen.
La CIRCUNFERENCIA se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.
La ELIPSE se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados del cono, tal y como se ve en la imagen.
Para dibujar una elipse con el metodo del jardinero:
Primero debemos dibujar perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo.
Luego debemos de señalar los dos focos.
Despues, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujamos la elipse.
En una mesa de billar eliptica, si colocas una bola en un foco y otro en el otro foco, siempre golpearas la bola.
La HIPÉRBOLA se obtine al cortar de forma perpendicular a la base los dos conos.
La luz que emite una lampara, produce como dos conos, que al cortarse con la pared, forma una hipérbola. (Lo podemos observar en estas imágenes).
La PARÁBOLA se obtine al cortar de forma paralela al lado del cono y que pase por su base.
En las antenas parabólicas, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en la parábola, producen ondas más coherentes que otro tipo de antenas.
Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Hay varios tipos, uno de ellos son los reflectores parabólicos o helióstatos. Estos concentran la luz sobre un punto focal para calentar la comidaualmente para usos industriales.Un espejo parabólico tiene la particularidad de que todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco. Esta característica se aprovecha por ejemplo en la construcción de antenas parabólicas, hornos solares, etc.
De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera.
Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una pequeña sección de esfera. De hecho, a lo largo de la historia la gran mayoría de los espejos construídos han sido esféricos, porque resultan mucho más fáciles de construir.
3. Movimientos en el plano
En geometría, una TRASLACIÓN es el movimiento de cada punto a una distancia constante en una dirección dada.En matemáticas, se define un VECTOR como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.
Frisos, mosaicos y cenefas:
Un friso sirve en arquitectura para denominar a la parte ancha de la sección central de un entablamento.
Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso u otro aglomerante para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas.
Una cenefa es un dibujo que sirve de adorno y que se pone a lo largo de los muros o de los pavimentos, incluso a veces en los techos. El dibujo suele ser repetitivo.
MC. Escher
MC. Escher, fue un artista holandés conocido por sus grabados xilográficos y litográficos que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
4. Resumen áreas y volúmenes:
5. La esfera y el globo terráqueo:Los elementos principales de la esfera son:
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
Un globo terráqueo es un modelo a escala tridimensional de la Tierra, siendo la única representación geográfica que no sufre distorsión. Si bien la Tierra es el planeta más frecuentemente representado, existen modelos del Sol, la Luna y otros planetas, incluyendo algunos ficticios.
Los globos terráqueos suelen montarse en un soporte en ángulo, lo que los hace más fáciles de usar, representando al mismo tiempo el ángulo del planeta en relación al Sol y a su propio giro. Esto permite visualizar fácilmente cómo cambian los días y las estaciones.
Un globo terráqueo tiene a veces relieve, mostrando la topografía. Se suele usar una escala exagerada para el relieve, de forma que resulte visible.
La mayor parte de los globos terráqueos modernos incluyen también paralelos y meridianos, de modo que se pueda localizar una ubicación en la superficie del planeta.Eratóstenes inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco para medir la circunferencia de la Tierra.
Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía.
